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In matematica, una mwcqpercentuale è un mwcgnumero o un mwcwrapporto espresso sotto forma di mwdafrazione in centesimi mwdq x 100 {\displaystyle {\frac {x}{100}}} .

Spesso è denotata dal simbolo di percentualemwdw %.

Ad esempio, il numero mweq 45 % % {\displaystyle 45\%} (pronunciato mweg"quarantacinque per cento") equivale alla frazione mwew 45 100 {\displaystyle {\frac {45}{100}}} cioè al valore mwfa 0 , 45 {\displaystyle 0,45} . Esso rappresenta cioè mwfq 45 {\displaystyle 45} parti di mwfg 100 {\displaystyle 100} , dove mwfw 100 {\displaystyle 100} rappresenta il totale.

In maniera del tutto analoga a quanto sopra riportato, talvolta il totale è fissato a valori differenti dal mwgq 100 {\displaystyle 100} . Il caso più diffuso è il "per mille" che rappresenta il totale con il numero mwgg 1000 {\displaystyle 1000} , ed è espresso dal simbolo ‰ (mwgwper mille); in ambito finanziario o chimico si usa anche la mwhaparte per milione (ppm).

La percentuale è usata nel quotidiano per definire rapidamente la parte di un totale mwhg y {\displaystyle y} . In questo caso, prendere "mwhw x {\displaystyle x} % di mwia y {\displaystyle y} " equivale a dividere mwiq y {\displaystyle y} in cento parti uguali, e prenderne esattamente mwig x {\displaystyle x} parti. A differenza di quanto si possa intuitivamente pensare, il valore percentuale non è limitato tra 0 e 100, ma può assumere anche valori superiori a 100 (ad esempio un incremento del mwiw 150 % % {\displaystyle 150\%} ) o valori negativi (ad esempio una variazione del mwja − − 20 % % {\displaystyle -20\%} )cite-ref-1[1].

Ad esempio

Il 32% di 2000 è calcolato come:

mwlq 32 % % ⋅ ⋅ 2000 = 0 , 32 ⋅ ⋅ 2000 = 640. {\displaystyle 32\%\cdot 2000=0{,}32\cdot 2000=640.}

Questa operazione è infatti del tutto equivalente a:

mwmq 32 % % ⋅ ⋅ 2000 = 32 100 ⋅ ⋅ 2000 = 32 ⋅ ⋅ 2000 100 = 640. {\displaystyle 32\%\cdot 2000={\frac {32}{100}}\cdot 2000=32\cdot {\frac {2000}{100}}=640.}

• Storia ed etimologia

• Definizione matematica

• Equivalenze notevoli

• Variazione percentuale e punti percentuali

• Problemi con somme di percentuali (il punto percentuale)

• Voci correlate

• Note

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il termine deriva dal mwnqlatino mwngper centum, che significa "per ogni cento". Fin dall'antichità, ancor prima dell'invenzione del mwnwsistema decimale, era pratica comune calcolare tasse e interessi sotto forma di frazioni di 100. L'imperatore romano mwoaAugusto, ad esempio, applicò una tassa del 1% sulle merci vendute all'asta, nota come mwoqcentesima rerum venaliumcite-ref-2[2].

Il simbolo moderno (%) si è evoluto nel corso dei secoli a partire dal Medioevo. Inizialmente, nei testi commerciali italiani, veniva scritta la dicitura "per cento" o "p. cento". Successivamente i mercanti abbreviarono la dicitura in "p c" con un piccolo cerchio o anello sopra la "c". Nel XVII secolo, l'abbreviazione si trasformò in una frazione stilizzata con due zeri separati da una linea orizzontale o diagonale, divenendo infine il simbolomwpw % che conosciamo oggi.

La percentuale è una delle possibili rappresentazioni numeriche del mwqgrapporto tra due quantità (mwqw a {\displaystyle a} e mwra b {\displaystyle b} ), in cui la prima viene espressa in centesime parti della seconda. Trattandosi di un rapporto tra due grandezze omogenee, la percentuale è un numero mwrgadimensionale (puro).

Da un punto di vista formale, il calcolo della percentuale equivale a impostare una mwsaproporzione in cui il rapporto tra mwsq a {\displaystyle a} e mwsg b {\displaystyle b} è uguale al rapporto tra mwsw n {\displaystyle n} (la percentuale) e 100:

mwtg a : b = n : 100 {\displaystyle a:b=n:100}

scrivibile anche come:

mwug a b = n 100 . {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {n}{100}}.}

In questa formulazione:

• la quantità mwvg b {\displaystyle b} (la base di riferimento che rappresenta il 100%) viene posta al mwvwdenominatore;

• la quantità mwwq a {\displaystyle a} (la parte da rapportare) viene posta al mwwgnumeratore.

Operativamente, il valore percentuale mwxa n {\displaystyle n} si ottiene calcolando il mwxqquoziente della divisione tra le due quantità mwxg a {\displaystyle a} e mwxw b {\displaystyle b} e moltiplicando il risultato per mwya100:

mwyw n = a b ⋅ ⋅ 100. {\displaystyle n={\frac {a}{b}}\cdot 100.}

Da ciò deriva la formula inversa per calcolare il valore di mwzq a {\displaystyle a} (la parte) conoscendo la percentuale mwzg n {\displaystyle n} e la base mwzw b {\displaystyle b} :

mwag a = n 100 ⋅ ⋅ b . {\displaystyle a={\frac {n}{100}}\cdot b.}

Ad esempio, il 32% di 2000 si calcola come:

mwbg 32 % % ⋅ ⋅ 2000 = 32 100 ⋅ ⋅ 2000 = 0 , 32 ⋅ ⋅ 2000 = 640. {\displaystyle 32\%\cdot 2000={\frac {32}{100}}\cdot 2000=0{,}32\cdot 2000=640.}

L'uso della percentuale non è strettamente necessario dal punto di vista matematico, in quanto perfettamente equivalente all'uso delle mwcafrazioni o dei mwcqnumeri decimali. Tuttavia, il suo impiego è universalmente diffuso poiché, riconducendo qualsiasi rapporto a una scala standardizzata (con base 100), rende immediato e intuitivo il confronto tra grandezze diverse, facilitandone la comprensione nella divulgazione di dati statistici, economici e scientifici.

La percentuale è legata all'idea intuitiva di "quanti elementi mwda a {\displaystyle a} trovo se estraggo a caso 100 elementi mwdq b {\displaystyle b} ". Molte percentuali comuni trovano immediato riscontro in frazioni semplificate.

| 100% | 90% | 80% | 75% | 70% | 66,(6)% | 60% | 50% | 40% | 33,(3)% | 30% | 25% | 20% | 15% | 12,5% | 10% | 5% | 2% | 1% | 0,5% |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| 1 ⁄ 1 | 9 ⁄ 10 | 4 ⁄ 5 | 3 ⁄ 4 | 7 ⁄ 10 | 2 ⁄ 3 | 3 ⁄ 5 | 1 ⁄ 2 | 2 ⁄ 5 | 1 ⁄ 3 | 3 ⁄ 10 | 1 ⁄ 4 | 1 ⁄ 5 | 3 ⁄ 20 | 1 ⁄ 8 | 1 ⁄ 10 | 1 ⁄ 20 | 1 ⁄ 50 | 1 ⁄ 100 | 1 ⁄ 200 |

Un uso molto comune delle percentuali è la misurazione della variazione percentuale (incremento o decremento) di una grandezza nel tempo. La formula per calcolare la variazione percentuale di una quantità che passa da un valore iniziale mwzq V i {\displaystyle V_{i}} a un valore finale mwzg V f {\displaystyle V_{f}} è

mw0q Variazione % % = V f − − V i | V i | ⋅ ⋅ 100. {\displaystyle {\text{Variazione }}\%={\frac {V_{f}-V_{i}}{|V_{i}|}}\cdot 100.}

Ad esempio, se il prezzo di un bene passa da 50€ a 60€, l'incremento percentuale è mw0w 60 − − 50 50 ⋅ ⋅ 100 = 20 % % {\displaystyle {\frac {60-50}{50}}\cdot 100=20\%} .

Le mw1gsomme e le mw1wsottrazioni di percentuali possono trarre in inganno se non si presta attenzione alla base di riferimento. Affinché un valore percentuale possa avere senso, è necessario sempre specificare quale sia il 100% rispetto al quale lo si calcola.

Quando si vuole indicare la semplice differenza aritmetica tra due valori espressi in percentuale, si utilizza il termine mw2gpunto percentuale. Ad esempio, se il tasso di interesse di un mutuo passa dal 2% al 3%, è scorretto affermare che "il tasso è aumentato dell'1%" (poiché l'incremento relativo, calcolato con la formula della variazione percentuale, è in realtà del 50%). La dizione corretta è: "il tasso è aumentato di 1 punto percentuale".

Questa fallacia logica si applica a qualsiasi situazione in cui la base cambia. Ad esempio: se una stazione ha 2 binari e ne viene costruito un terzo, il numero dei binari è aumentato del 50% (il valore di riferimento iniziale è 2, e 1 è la sua metà). Se in un secondo momento il terzo binario viene rimosso (tornando a 2), i binari subiscono una riduzione del 33,3% (perché ora il valore di riferimento iniziale è 3, e 1 è un terzo di 3). Sebbene si sia aggiunto e poi tolto esattamente un binario, sommare algebricamente le percentuali (+50% e -33,3%) porterebbe all'errata conclusione che vi sia stato un aumento netto del 16,6%. Le percentuali non sono quasi mai sommabili perché si riferiscono a basi differenti.

• mw3wPer mille

• mw4qPunto base

• mw4wSimbolo di percentuale

• mw5qStatistica

cite-note-11. ↑ mw7amw7qmw7gPercentuale in "Enciclopedia della Matematica", su mw7wwww.treccani.it. mw8aURL consultato il 25 ottobre 2023.

cite-note-22. ↑ mw9aD. E. Smith, mw9qHistory of Mathematics, Vol 2, Courier Corporation, 1958, pp.mw9g 247-249.

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «percentuale»

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su percentuale

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Percent, su MathWorld, Wolfram Research.

• mw-g(EN) IUPAC Gold Book, "percent", su goldbook.iupac.org.